La física en los Muelles y Péndulos: el Movimiento Vibratorio Armónico Simple

 

¡Hola camarada! Hoy te hablaré y te explicaré todo lo que neceistas saber sobre el Movimiento Vibratorio Armónico Simple: ecuación de elongación, energías (cinéticas, potencial y mecánica), las ecuaciones de la velocidad, elongación y velocidad en función del tiempo y todas sus gráficas.

 

Ecuación de elongación de un MVAS

La ecuación general de la elongación de un movimiento vibratorio armónico simple la podemos expresar como:

x = A sen(wt + φ0)

Donde:

• x: representa la elongación, es decir, la separación de la partícula que describe el movimiento vibratorioarmónico simple (MVAS) respecto a la posición de equilibrio del sistema (x=0). Unidades del SI los metros (m).

• A: representa la amplitud, esto es la máxima separación de la partícula que describe el MVAS respecto a la posición de equilibrio (x=0). Unidades del SI los metros (m).
  

• w: frecuencia angular. Representa el mismo papel que la velocidad angular en un MCU. Unidades del SI los radianes por segundo (rad/s). Su relación con la frecuencia (f) y el período (T) es:

                        w = 2πf = 2π/T

•     f: frecuencia. Es el número de oscilaciones completas que realiza la partícula en la unidad de tiempo. Unidades del SI son los herzios (Hz).
•     T: período. Representa el tiempo que transcurre durante una oscilación completa de la partícula. Unidades del SI los segundos (s).
  

• (wt + φ0): fase del movimiento o ángulo de fase: representa la posición angular de la partícula en un determinado instante (t) (Considerando la relación del MVAS con un MCU).
  

•  φ0: fase inicial del movimiento o ángulo de fase inicial: representa la posición angular de la partícula en el instante inicial (t=0). Según sean las condiciones iniciales, se puede usar la función seno o coseno.

La gráfica de la elongación respecto del tiempo es:

 

T=0,4s y A=0,13m

Expresiones de las energías cinética, potencial y mecánica

Energía potencial elástica

Como no hay rozamiento, la única fuerza que actúa sobre la masa es la fuerza elástica que ejerce el muelle y que siempre tiene sentido hacia el punto de equilibrio del sistema. Como se trata de una fuerza conservativa, a esta fuerza se le asocia la variación de una función de energía potencial elástica cambiada de signo. Considerando como origen de la energía potencial elástica el punto de quilibrio del sistema, obtenemos una expresión para la energía potencial elástica:

Ep.elástica = 1/2 k x^2

En la k que es la constante elástica del sistema elástico y x es la elongación de un punto cualquiera.

 

Energía cinética

E. cinética = 1/2 m v^2

Recordando la relación entre la velocidad de un MVAS y su elongación:

v = w √(A^2 - x^2)

Sustituyendo en la expresión anterior:

E cinética = 1/2 m w^2 (A^2 - x^2)

Finalmente recordando que w = √k/m, obtenemos la expresión final de la energía cinética:

E cinética = 1/2 k (A^2 - x^2)

 

Energía mecánica 

La energía mecánica es la suma de la energía potencial y la energía elástica:

E mecánica = 1/2 k (A^2 - x^2) + 1/2 k x^2 = 1/2 k A^2

E mecánica = 1/2 k A^2

Expresión que corresponde a la energía potencial elástica máxima cuando la masa se encuentra en uno de los extremos, donde la velocidad es igual a cero y, por tanto, la energía cinética es nula.

A continuación, gráfica de las energías potencial, cinética y mecánica en función de la elongación:

 

Evolución temporal de la velocidad y la aceleración en un MVAS

La velocidad es la derivada de la posición respecto del tiempo:

v = dx/dt = d(A sen(wt + φ0))/dt = Aw cos(wt + φ0)

La aceleración es la derivada de la velocidad respecto del tiempo:

a = dv/dt = d(Aw cos(wt + φ0))/dt = - Aw^2 sen(wt + φ0)+

Las representaciones de la velocidad y la aceleración en función del tiempo son (en el caso de φ0 = 0):

 

 

Pues esta es toda la teoría del Movimiento Vibratorio Armónico simple. Si tienes alguna pregunta o duda, ¡pregúntame! Te contestaré lo más rápido posible y con gran interés.